Einführung in Mathematica VI

Berechnung thermodynamischer Größen (klassisch)

© Jürgen Schnack, 2023/04/11

Problem

Thermodynische Relationen sollen veranschaulicht werden. Kleinere Probleme der statistischen Physik sollen bearbeitet werden.

Klassische Zustandssumme I

Z[T,V]=∫dp ∫dq (e^( -((H(p,q) )/((Subscript[k, B]) T))  ))

H ist die klassische Hamiltonfunktion (Konzept kurz an der Tafel erklären)

Klassische Zustandssumme II
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

H[px_,py_,pz_]=(1/(2*m))*((px^2)+(py^2)+(pz^2));
Z[T_,V_]=V*Integrate[Exp[-H[px,py,pz]/((Subscript[k, B])*T)],{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},Assumptions->Re[m T (Subscript[k, B])]>0]

Gauß - Integral!!!

Klassische Zustandssumme III
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

U[T_,V_]=V*Integrate[H[px,py,pz]*Exp[-H[px,py,pz]/((Subscript[k, B])*T)],
{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},Assumptions->Re[m*(Subscript[k, B])*T]>0]/Z[T,V]

Diskussion! (GL, GVS)

Klassische Zustandssumme IV
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

F[T_,V_]=-(Subscript[k, B])*T*Log[Z[T,V]]

S[T_,V_]=-D[F[T,V],T]

CV[T_,V_]=T*D[S[T,V],T]

Diskussion!

Klassische Zustandssumme V
ideales Gas (N Teilchen im Volumen V)

ZN[T_,V_,NT_]=((Z[T,V])^NT)

FN[T_,V_,NT_]=-(Subscript[k, B])*T*Log[ZN[T,V,NT]]

Merke: N können wir nicht als Variable verwenden!

Klassische Zustandssumme VI
ideales Gas (N Teilchen im Volumen V)

SN[T_,V_,NT_]=-D[FN[T,V,NT],T]

CVN[T_,V_,NT_]=T*D[SN[T,V,NT],T]

Klassische Zustandssumme VII
harmonischer Oszillator (III-dim)

Bem: m, ω und (Subscript[k, B]) weggelassen

HHO[px_,py_,pz_,x_,y_,z_]=(1/2)*((px^2)+(py^2)+(pz^2))+(1/2)*((x^2)+(y^2)+(z^2));
ZHO[T_,V_]=Integrate[Exp[-HHO[px,py,pz,x,y,z]/T],{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},{x,-∞,∞},{y,-∞,∞},{z,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]

Klassische Zustandssumme VIII
harmonischer Oszillator (III-dim)

UHO[T_,V_]=Integrate[HHO[px,py,pz,x,y,z]*Exp[-HHO[px,py,pz,x,y,z]/T],
{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},
{x,-∞,∞},{y,-∞,∞},{z,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]/ZHO[T,V]

Diskussion!

... und Schluss.