Streuung am Zentralpotential, Betrachtung in der x-y-Ebene

© Jürgen Schnack, 2022/10/17

Längen in fm
Geschwindigkeiten in Vielfachen von c
Energien sind durch m c^2 geteilt, also Masse=1
Klassische Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Definitionen

Potentialparameter, Plotoptionen

a=1.5 10^(-3);
M=1.0;
Rand=10.`;
Stossparameter=1.0;
PlotRand=Rand+4.`;

1. Nur Coulomb-Potential

V[x_,y_,z_]=(a/(((x^2)+ (y^2)+ (z^2))^(1/2)));
Plot[V[x,0,0],{x,1,10}]

dVdx[x_,y_,z_]=D[V[x,y,z],x]

dVdy[x_,y_,z_]=D[V[x,y,z],y]

Dynamik

Differentialgleichungen

EOM={X'[t]==PX[t]/M,Y'[t]==PY[t]/M,PX'[t]==-dVdx[X[t],Y[t],0],PY'[t]==-dVdy[X[t],Y[t],0]}

Anfangsbedingungen:

AB={X[0]==-Rand,Y[0]==Stossparameter,PX[0]==0.1,PY[0]==0}

Alle Gleichungen

Equations=Join[EOM,AB]

DGL lösen

Solution=NDSolve[Equations,{X,Y,PX,PY},{t,0,300},MaxSteps->Infinity];

Bewegung darstellen: Machen Sie das für einen anderen Stoßparameter.

Plot0=ParametricPlot[{X[t],Y[t]}/.Solution[[1]],{t,0.1`,299.`},PlotRange->{{-PlotRand,PlotRand},{-PlotRand,PlotRand}},
BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

PlotStossparameter=Table[Plot0,{i,1,20}];
For[i=1,i<21,i++,
Stossparameter=0.25*i;
AB={X[0]==-Rand,Y[0]==Stossparameter,PX[0]==0.1,PY[0]==0};
Equations=Join[EOM,AB];
Solution=NDSolve[Equations,{X,Y,PX,PY},{t,0,300},MaxSteps->Infinity];
PlotStossparameter[[i]]=ParametricPlot[{X[t],Y[t]}/.Solution[[1]],{t,0.1`,299.`},PlotRange->{{-Rand,Rand},{-0.1,6.0}},
BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18},PlotStyle->{Hue[1-0.05*i]}]];

S1=Show[PlotStossparameter]

2. Coulomb-Potential + fiktive starke Abstoßung

V[x_,y_,z_]=(a/(((x^2)+ (y^2)+ (z^2))^(1/2))) +(1.0/(((x^2)+ (y^2)+ (z^2))^(12))) ;
Plot[V[x,0,0],{x,1,10}]

dVdx[x_,y_,z_]=D[V[x,y,z],x]

dVdy[x_,y_,z_]=D[V[x,y,z],y]

Dynamik

Differentialgleichungen

EOM={X'[t]==PX[t]/M,Y'[t]==PY[t]/M,PX'[t]==-dVdx[X[t],Y[t],0],PY'[t]==-dVdy[X[t],Y[t],0]}

Anfangsbedingungen:

AB={X[0]==-Rand,Y[0]==Stossparameter,PX[0]==0.1,PY[0]==0}

Alle Gleichungen

Equations=Join[EOM,AB]

DGL lösen

Solution=NDSolve[Equations,{X,Y,PX,PY},{t,0,300},MaxSteps->Infinity];

Bewegung darstellen: Nehmen Sie mal einen kleineren Stoßparameter.

Plot0=ParametricPlot[{X[t],Y[t]}/.Solution[[1]],{t,0.1`,299.`},PlotRange->{{-PlotRand,PlotRand},{-PlotRand,PlotRand}},
BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

PlotStossparameter=Table[Plot0,{i,1,20}];
For[i=1,i<21,i++,
Stossparameter=0.25*i;
AB={X[0]==-Rand,Y[0]==Stossparameter,PX[0]==0.1,PY[0]==0};
Equations=Join[EOM,AB];
Solution=NDSolve[Equations,{X,Y,PX,PY},{t,0,300},MaxSteps->Infinity];
PlotStossparameter[[i]]=ParametricPlot[{X[t],Y[t]}/.Solution[[1]],{t,0.1`,299.`},PlotRange->{{-Rand,Rand},{-0.1,6.0}},
BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18},PlotStyle->{Hue[1-0.05*i]}]];

S2=Show[PlotStossparameter]

Jetzt gibt es auch Rückstreuung! Wie würden Sie Rückstreuung definieren?

3. Vergleich

Show[S1,S2]

Man kann jetzt die Ausdehnung des streuenden Objektes abschätzen über den kleinsten Stoßparameter, bei dem beide Streuungen praktisch das gleiche Ergebnis geben. In dem Beispiel etwa ... fm.