Einführung in Mathematica IX

Anwenderbeispiel für Matrizen: Kastenpotential mit Störung

© Jürgen Schnack, 2016/04/19

Problem

Erklären: stationäre Schrödinger-Gleichung; unendlich hoher Kasten!

Eindimensionales Kastenpotential mit Störung in der Mitte
(alles in arbitrary units  ☺ )

(Subscript[v, 0])=50;
v[x_]=If[0.45≤x≤0.55,(Subscript[v, 0]),0];

Plot[v[x], {x, 0, 1}, PlotRange -> {0, 100},PlotStyle->{Hue[0.6],Thick},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Lösung

Approximative Diagonalisierung in der Eigenbasis des ungestörten Problems:
1. Ungestörtes Problem = Lösung des unendlich hohen Kastenpotentials
2. Eigenbasis des ungestörten Problems programmieren
3. vollen Hamiltonoperator H (incl. (Subscript[v, 0])) in dieser Basis darstellen
4. H diagonalisieren
5. neue Eigenvektoren darstellen

-> an der Tafel vorführen! Bra-Ket-Schreibweise

Anwendung

z.B. Oberflächenphysik
1. Oberflächenzustände zwischen Stufenkanten sind in guter Näherung die 
Eigenlösungen des unendlich hohen Kastenpotetials
2. aufgebrachte Strukturen tragen die Störung (Subscript[v, 0]) bei

Experimentelles Beispiel: Dissertation Andreas Bachmann (Universität Osnabrück)

http://repositorium.uni-osnabrueck.de/handle/urn:nbn:de:gbv:700-2002111519

Darstellung des Hamiltonoperators in der Eigenbasis der kinetischen Energie

l=1;(* Intervallänge, kommt im Weiteren nicht vor*)
NMax=20;

b[x_]=Table[(Sqrt[2]) Sin[n π x],{n,1,NMax}]

b[x][[1]]

Das ist also eine Liste von Funktionen!

Eigenbasis der kinetischen Energie

Plot[b[x], {x, 0, 1}, PlotRange -> {-2, 2},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Plot[{b[x][[1]],b[x][[2]],b[x][[3]]}, {x, 0, 1}, PlotRange -> {-2, 2},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Hamiltonmatrix

HMatrix = Table[(n^2) * (π^2) *KroneckerDelta[m, n] +
    (∫_0^l)(b[x][[m]] v[x] b[x][[n]])\[DifferentialD]x, 
{m, 1, NMax}, {n, 1, NMax}];

MatrixForm[HMatrix]

MatrixForm[Chop[HMatrix]]

Diagonalisierung des vollen Hamiltonoperators in der Basis b[x]

{EW,EV}=Eigensystem[HMatrix];

EW

EVT=Transpose[EV];

Darstellung der Eigenzustände

Grundzustand

Plot[{v[x], b[x][[1]], (∑_(n=1)^NMax)EVT[[n]][[NMax]] b[x][[n]]}, {x, 0, 1}, PlotRange -> {0, 2},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Darstellung der Eigenzustände

1. angeregter Zustand

Plot[{v[x], b[x][[2]], (∑_(n=1)^NMax)EVT[[n]][[NMax-1]] b[x][[n]]}, {x, 0, 1}, PlotRange -> {-2, 2},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Darstellung der Eigenzustände

2. angeregter Zustand

Plot[{v[x], b[x][[3]],-(∑_(n=1)^NMax)EVT[[n]][[NMax-2]] b[x][[n]]}, {x, 0, 1}, PlotRange -> {-2, 2},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Darstellung der Eigenzustände

Abweichung des Grundzustands

Sign1=Sign[b[0.1][[1]]/ (∑_(n=1)^NMax)EVT[[n]][[NMax]] b[0.1][[n]]];
Plot[{v[x], b[x][[1]]-Sign1* (∑_(n=1)^NMax)EVT[[n]][[NMax]] b[x][[n]]}, {x, 0, 1}, PlotRange -> {-0.2, 0.3},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

... und Schluss.