Einführung in Mathematica XIX

Fouriertransformation

© Jürgen Schnack, 2010/07/01

Problem

Die Fouriertransformation ist eine Basistransformation.

Mit ihr kann man
- beitragende Frequenzen ermitteln,
- einige Differentialgleichungen einfach lösen,
- Korrelationendefinieren und bestimmen.

Mathematica

The Fourier transform of a function f(t) is by default defined to be (1/(Sqrt[2 π]))(∫_(-∞)^∞)f(t)(e^(iωt))dt.

Other definitions are used in some scientific and technical fields.

Different choices of definitions can be specified using the option FourierParameters.

With the setting FourierParameters->{a,b} the Fourier transform computed by FourierTransform is (Sqrt[((|b|)/(((2π))^(1-a)))])(∫_(-∞)^∞)f(t) (e^(ibωt))dt.

Some common choices for {a,b} are {0,1} (default; modern physics), {1,-1} (pure mathematics; systems engineering), {-1,1} (classical physics), {0,-2Pi} (signal processing).

1. Beispiel

f1[x_]=Sin[x];

FourierTransform[f1[x],x,k]

Warum? Analytisch begründen!

2. Beispiel

f2[x_]=1;

FourierTransform[f2[x],x,k]

Warum? Analytisch begründen!

3. Beispiel

f3[x_]=Exp[-x^2];

FourierTransform[f3[x],x,k]

Warum? Analytisch begründen! Wellenpaket!!!

Problem

Die diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls eine Basistransformation.
Sie liefert eine Reihenentwicklung nach Sin- und Cos-Funktionen.

Mit ihr kann man
- beitragende Frequenzen ermitteln,
- einige Differentialgleichungen einfach lösen,
- Korrelationendefinieren und bestimmen.

Mathematica

The n(^th)–order Fourier series of f(t) is by default defined to be (∑_(k=-n)^n)(Subscript[c, k]) (e^(i k t)) with (Subscript[c, k])=(1/(2π))(∫_(-π)^π)f(t) (e^(-i k t))dt.

4. Beispiel

f4[x_]=Sin[x];

FourierSeries[f4[x],x,5]

Warum? Analytisch begründen!

5. Beispiel

f5[x_]=Sin[x]+Sin[2*x]+Sin[3*x];
Plot[f5[x],{x,-π,π}]

FourierSeries[f5[x],x,5]

Warum? Analytisch begründen!

6. Beispiel

f6[x_]=Abs[x];
Plot[f6[x],{x,-π,π}]

Ff6=FourierSeries[f6[x],x,3]

Plot[{Re[Ff6],Im[Ff6],Abs[x]},{x,-π,π},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

Ff6B=FourierSeries[f6[x],x,10];
Plot[{Re[Ff6B],Im[Ff6],Abs[x]},{x,-π,π},
PlotStyle->{{Red,Thick},{Green,Thick},{Blue,Thick}},BaseStyle->{FontFamily->"Helvetica",FontSize->18}]

g[x_]=Ff6B;
g[1.0]

Schluß

Hier ist Schluß.