Einführung in Mathematica VII

Berechnung thermodynamischer Größen

© Jürgen Schnack, 2010/04/20

Problem

Thermodynische Relationen sollen veranschaulicht werden. Kleinere Probleme der statistischen Physik sollen bearbeitet werden.

Klassische Zustandssumme I

Z[T,V]=∫dp ∫dq (e^( -((H(p,q) )/((Subscript[k, B]) T))  ))

H ist die klassische Hamiltonfunktion

Klassische Zustandssumme II
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

H[px_,py_,pz_]=(1/2)*((px^2)+(py^2)+(pz^2));
Z[T_,V_]=V*Integrate[Exp[-H[px,py,pz]/T],{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]

Klassische Zustandssumme III
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

U[T_,V_]=V*Integrate[H[px,py,pz]*Exp[-H[px,py,pz]/T],{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]/Z[T,V]

Diskussion! (GL, GVS)

Klassische Zustandssumme IV
ideales Gas (1 Teilchen im Volumen V)

F[T_,V_]=-T*Log[Z[T,V]]

S[T_,V_]=-D[F[T,V],T]

CV[T_,V_]=T*D[S[T,V],T]

Diskussion!

Klassische Zustandssumme V
ideales Gas (N Teilchen im Volumen V)

ZN[T_,V_,NT_]=((Z[T,V])^NT)

FN[T_,V_,NT_]=-T*Log[ZN[T,V,NT]]

Klassische Zustandssumme VI
ideales Gas (N Teilchen im Volumen V)

SN[T_,V_,NT_]=-D[FN[T,V,NT],T]

CVN[T_,V_,NT_]=T*D[SN[T,V,NT],T]

Klassische Zustandssumme VII
harmonischer Oszillator (1-dim)

HHO[px_,py_,pz_,x_,y_,z_]=(1/2)*((px^2)+(py^2)+(pz^2))+(1/2)*((x^2)+(y^2)+(z^2));
ZHO[T_,V_]=Integrate[Exp[-HHO[px,py,pz,x,y,z]/T],{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},{x,-∞,∞},{y,-∞,∞},{z,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]

Klassische Zustandssumme VIII
harmonischer Oszillator (1-dim)

UHO[T_,V_]=Integrate[HHO[px,py,pz,x,y,z]*Exp[-HHO[px,py,pz,x,y,z]/T],
{px,-∞,∞},{py,-∞,∞},{pz,-∞,∞},
{x,-∞,∞},{y,-∞,∞},{z,-∞,∞},Assumptions->Re[T]>0]/ZHO[T,V]

Diskussion!

Quantenmechanische Zustandssumme I

Quantenmechanische Zustandssummen sind i.d.R. Summen über die Diagonalelemente von (e^(-(H/((Subscript[k, B]) T)))). H ist jetzt der Hamiltonoperator. Hat man das Eigenwertproblem von H gelöst, summiert man einfach (e^(-((Subscript[E, n])/((Subscript[k, B]) T)))) über die Eigenlösungen n.

QM Zustandssumme II
einfaches magnetisches System

Es wird das magnetische Verhalten zweier antiferromagnetisch gekoppelter Spins mit s=1/2 untersucht. Klassisch wären solche Spins im Grundzustand antiparallel ausgerichtet.

Konstanten

J=-10  (* Kelvin (Subscript[k, B]) *);
gmuBDurchkB=1.3434;

QM Zustandssumme III
einfaches magnetisches System

Energie-Eigenwerte ohne Feld

E0={3*J/2,-J/2,-J/2,-J/2}

zugehörige magnetische Quantenzahlen M

M={0,1,0,-1}

Energie-Eigenwerte mit Feld, d.h. mit zusätzlichem Zeeman-Term

EB[B_]=E0+M*gmuBDurchkB*B

QM Zustandssumme IV
einfaches magnetisches System

Plot[{EB[B][[1]],EB[B][[2]],EB[B][[3]],EB[B][[4]]},{B,0,50.0},
PlotLabel->"Energie-Niveaus",
PlotStyle->{{Thickness[0.01],Red},
{Thickness[0.01],Green},
{Thickness[0.01],Blue},
{Thickness[0.01],Orange}},
AxesLabel->{"B (Tesla)","E/k (K)"},
BaseStyle->{FontFamily->Helvetica,FontSize->18}]

QM Zustandssumme V
einfaches magnetisches System

Zustandssumme

ZS[T_,B_]=Sum[(E^(-((EB[B][[m]])/T))),{m,1,4}]

Magnetisierung

Mag[T_,B_]=-Sum[M[[m]]*(E^(-((EB[B][[m]])/T))),{m,1,4}]/ZS[T,B]

QM Zustandssumme VI
einfaches magnetisches System

Plot[{Mag[0.001,B],Mag[1,B],Mag[10,B]},{B,0,50.0},
PlotLabel->"Magnetisierung",
PlotStyle->{{Thickness[0.01],Red},
{Thickness[0.01],Green},
{Thickness[0.01],Blue},
{Thickness[0.01],Orange}},
AxesLabel->{"B (Tesla)","M/((Subscript[gμ, B]))"},
BaseStyle->{FontFamily->Helvetica,FontSize->18}]

QM Zustandssumme VII
einfaches magnetisches System

pn[T_,B_]=Table[(E^(-((EB[B][[m]])/T)))/ZS[T,B],{m,1,4}]

B1=6.0;
Plot[{pn[T,B1][[1]],pn[T,B1][[2]],pn[T,B1][[3]],pn[T,B1][[4]],},{T,0,20.0},
PlotRange->{0,1.01},
PlotLabel->"pn",
PlotStyle->{{Thickness[0.01],Red},
{Thickness[0.01],Green},
{Thickness[0.01],Blue},
{Thickness[0.01],Orange}},
AxesLabel->{"T (K)","pn"},
BaseStyle->{FontFamily->Helvetica,FontSize->18}]

QM Zustandssumme VIII
einfaches magnetisches System

Gibbs'sche freie Enthalpie G/k

GS[T_,B_]=-T*Log[ZS[T,B]]

Entropie in Einheiten von k

SS[T_,B_]=-Simplify[(∂_T) GS[T,B]]

Graphische Darstellung der Entropie

ContourPlot[SS[T,B],{B,0,30.0},{T,0.1,20.0},
PlotPoints->100,
ContourShading->False,
Contours->20,ContourStyle->{Thickness[0.010],RGBColor[1,0,0]},
PlotLabel->"T-B-Diagramm",
AxesLabel->{"B (Tesla)","T (K)"},
BaseStyle->{FontFamily->Helvetica,FontSize->18}]

Adiabatische Prozesse diskutieren.