5. Matrizen
5.3. Approximative Diagonalisierung

© PD Dr. Jürgen Schnack, Numerische Physik, WS 2003/04

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Für das Problem werden ℏ und die Kastenlänge 1 gesetzt, ebenso 2 m.

Konstanten

l = 1;    
NMax = 20;

Darstellung des Hamiltonoperators in der Eigenbasis der kinetischen Energie

Eigenbasis zur dimensionslosen kinetischen Energie

b[x_] = Table[(Sqrt[2]) Sin[n π x], {n, 1, NMax}];

dimensionslose potentielle Energie

(Subscript[v, 0]) = 50;
v[x_] = 
        If[0.45 ≤ x ≤ 0.55, (Subscript[v, 0]), 0];

Hamiltonmatrix

HMatrix = 
        Table[(n^2) (π^2) KroneckerDelta[m, 
                n] + 
(∫_0^l)(b[
                        x][[m]] v[
                      x] b[x][[n]]) \[DifferentialD]x, {m, 1, 
            NMax}, {n, 1, NMax}];

Diagonalisierung des Hamiltonoperators in der Eigenbasis der kinetischen Energie

Eigenwerte und Eigenvektoren

{EW, EV} = Eigensystem[HMatrix];

Eigenwerte

EW

Eigenvektoren

EVT  =  Transpose[EV];

Darstellung der Eigenzustände

Grundzustand

\(\(\(	\)\(Plot[{v[
            x], \(b[x]\)[\([1]\)], \(-\(∑\+\(n = 1\)\%NMax\((\(EVT[\([n]\)]\)[\([NMax]\)]\ \(b[x]\)[\([n]\)])\)\)\)}, 
	{x, 0, 1}, 
        PlotRange -> {0, 2}];\)\)\)

1. angeregter Zustand

\(\(\(	\)\(Plot[{v[
            x], \(b[x]\)[\([2]\)], \(-\(∑\+\(n = 1\)\%NMax\((\(EVT[\([n]\)]\)[\([NMax - 1]\)]\ \(b[x]\)[\([n]\)])\)\)\)}, 
	{x, 0, 1}, 
        PlotRange -> {\(-2\), 2}];\)\)\)

2. angeregter Zustand

\(\(\(	\)\(Plot[{v[
            x], \(b[x]\)[\([3]\)], \(-\(∑\+\(n = 1\)\%NMax\((\(EVT[\([n]\)]\)[\([NMax - 2]\)]\ \(b[x]\)[\([n]\)])\)\)\)}, 
	{x, 0, 1}, 
        PlotRange -> {\(-2\), 2}];\)\)\)